12 Mois Mobile Moyenne Saisonnalité

Calcul d'un indice saisonnier Ce document doit être utilisé avec le fichier saisonnier index. xls de MS Excel situé sur la page d'accueil de la classe Econ437. 1. Énumérez les prix mensuels dans l'ordre chronologique dans la colonne D de votre feuille de calcul. Exemple. L'ensemble de données fourni est pour janvier 1975 à décembre 1996, 264 observations au total. 2. Calculez un total mobile de 12 mois centré en additionnant les prix de janvier à décembre. Vous devez commencer par la 6e observation. Exemple. Pour juin 1975 (observation 6) 3.012.822.632.652.672.652.702.942.762.542.302.30 31.97 3. Répétez l'étape 2 pour le reste de l'ensemble de données. Remarque. Il y aura 5 cellules blanches au début de l'ensemble de données dans la colonne E et 6 cellules blanches à la fin de la colonne E. 4. Calculez le total mobile de 2 mois de la colonne E et inscrivez-le dans la colonne F à partir de la 7e observation. Il y aura 6 cellules blanches au début et à la fin de la colonne F. Exemple. Pour l'observation 7, 31.9731.3363.30. 5. Divisez la colonne F par 24 et inscrivez-la dans la colonne G en commençant par l'observation 7. C'est la moyenne mobile double de 12 mois (MA) centrée. 6. Divisez les prix d'origine dans la colonne D par la moyenne mobile sur 12 mois centrée dans la colonne G et inscrivez ces valeurs mensuelles individuelles dans la colonne H à partir de juillet 1975, observation 7. Il n'y aura aucune valeur pour les six premiers mois de 1975 et Les 6 derniers mois de 1996. 7. Additionnez tous les indices mensuels de chaque mois et faites-les en moyenne pour obtenir la valeur de l'indice Raw. Voir le tableau ci-dessous. Trouvez la moyenne des indices bruts. Divisez chaque mois Raw Index par la moyenne des indices bruts pour obtenir l'indexation ajustée. Planification de l'ajustement saisonnier et du lissage exponentiel Il est facile d'effectuer un ajustement saisonnier et d'ajuster des modèles de lissage exponentiels à l'aide d'Excel. Les images et diagrammes d'écran ci-dessous sont tirés d'une feuille de calcul qui a été configurée pour illustrer l'ajustement saisonnier multiplicatif et le lissage exponentiel linéaire sur les données de ventes trimestrielles suivantes de Outboard Marine: Pour obtenir une copie du fichier de feuille de calcul lui-même, cliquez ici. La version de lissage linéaire exponentielle qui sera utilisée ici à des fins de démonstration est la version Brown8217s, simplement parce qu'elle peut être implémentée avec une seule colonne de formules et qu'il n'y a qu'une seule constante de lissage à optimiser. Habituellement, il est préférable d'utiliser la version Holt8217s qui dispose de constantes de lissage distinctes pour le niveau et la tendance. Le processus de prévision se déroule comme suit: (i) d'abord les données sont désaisonnalisées (ii) ensuite les prévisions sont générées pour les données désaisonnalisées par lissage exponentiel linéaire et (iii) enfin les prévisions désaisonnalisées sont quasiment saisonnalisées pour obtenir des prévisions pour la série originale . Le processus d'ajustement saisonnier est effectué dans les colonnes D à G. La première étape de l'ajustement saisonnier est de calculer une moyenne mobile centrée (effectuée ici dans la colonne D). Cela peut se faire en prenant la moyenne de deux moyennes sur une année qui sont compensées par une période l'une par rapport à l'autre. (Une combinaison de deux moyennes de décalage plutôt qu'une moyenne simple est nécessaire pour des fins de centrage lorsque le nombre de saisons est pair.) L'étape suivante consiste à calculer le rapport à la moyenne mobile - ie. Les données originales sont divisées par la moyenne mobile dans chaque période - ce qui est réalisé ici dans la colonne E. (On appelle également cette composante du cycle quottrend-cycle, dans la mesure où les effets de tendance et de cycle d'affaires peuvent être considérés comme étant tout ce que Il est évident que les variations mensuelles qui ne sont pas dues à la saisonnalité pourraient être déterminées par de nombreux autres facteurs, mais la moyenne sur douze mois les lisse dans une large mesure. L'indice saisonnier estimé pour chaque saison est calculé en faisant la moyenne d'abord de tous les ratios pour cette saison particulière, qui est effectuée dans les cellules G3-G6 en utilisant une formule AVERAGEIF. Les ratios moyens sont alors redimensionnés de sorte qu'ils totalisent exactement 100 fois le nombre de périodes dans une saison, ou 400 dans ce cas, ce qui est fait dans les cellules H3-H6. Dans la colonne F, les formules VLOOKUP sont utilisées pour insérer la valeur d'indice saisonnier appropriée dans chaque ligne du tableau de données, en fonction du trimestre de l'année où il est représenté. La moyenne mobile centrée et les données désaisonnalisées se terminent comme suit: Notez que la moyenne mobile ressemble généralement à une version plus lisse de la série désaisonnalisée et qu'elle est plus courte aux deux extrémités. Une autre feuille de calcul dans le même fichier Excel montre l'application du modèle de lissage exponentiel linéaire aux données désaisonnalisées, commençant dans la colonne G. Une valeur pour la constante de lissage (alpha) est entrée au-dessus de la colonne de prévision (ici, dans la cellule H9) et Pour plus de commodité, on lui attribue le nom de la plage quotAlpha. quot (Le nom est attribué à l'aide de la commande quotInsertNameCreatequot). Le modèle LES est initialisé en définissant les deux premières prévisions égales à la première valeur réelle de la série désaisonnalisée. La formule utilisée ici pour la prévision des LES est la forme récursive à une seule équation du modèle Brown8217s: Cette formule est saisie dans la cellule correspondant à la troisième période (ici, cellule H15) et copiée à partir de là. On remarque que les prévisions ERP pour la période courante se réfèrent aux deux observations précédentes et aux deux erreurs de prévision précédentes, ainsi qu'à la valeur de alpha. Ainsi, la formule de prévision de la rangée 15 se réfère uniquement aux données qui étaient disponibles dans la rangée 14 et antérieures. (Bien sûr, si on voulait utiliser le lissage exponentiel linéaire plutôt que linéaire, nous pourrions remplacer la formule SES ici.) On pourrait aussi utiliser Holt8217s plutôt que le modèle LES de Brown8217, ce qui nécessiterait deux autres colonnes de formules pour calculer le niveau et la tendance Qui sont utilisés dans la prévision). Les erreurs sont calculées dans la colonne suivante (ici, colonne J) en soustrayant les prévisions des valeurs réelles. L'erreur quadratique moyenne est calculée comme étant la racine carrée de la variance des erreurs plus le carré de la moyenne. (Cela résulte de l'identité mathématique: VARIANCE MSE (erreurs) (MOYENNE (erreurs)) 2). Dans le calcul de la moyenne et de la variance des erreurs dans cette formule, les deux premières périodes sont exclues parce que le modèle ne commence effectivement à prévoir que La troisième période (ligne 15 sur le tableur). La valeur optimale de alpha peut être trouvée soit en changeant manuellement alpha jusqu'à ce que le RMSE minimum soit trouvé, soit vous pouvez utiliser le quotSolverquot pour effectuer une minimisation exacte. La valeur de alpha que le Solver a trouvée est affichée ici (alpha0.471). C'est généralement une bonne idée de tracer les erreurs du modèle (en unités transformées) et aussi de calculer et de tracer leurs autocorrélations à des décalages de jusqu'à une saison. Voici une courbe chronologique des erreurs (désaisonnalisées): Les autocorrélations d'erreur sont calculées à l'aide de la fonction CORREL () pour calculer les corrélations des erreurs avec elles-mêmes retardées par une ou plusieurs périodes - les détails sont indiqués dans le modèle de feuille de calcul . Voici une trame des autocorrélations des erreurs aux cinq premiers décalages: Les autocorrélations aux intervalles 1 à 3 sont très proches de zéro, mais la pointe au retard 4 (dont la valeur est 0,35) est légèrement gênante - elle suggère que la Le processus d'ajustement saisonnier n'a pas été complètement réussi. Cependant, il n'est en fait que marginalement significatif. 95 pour déterminer si les autocorrélations sont significativement différentes de zéro sont approximativement plus-ou-moins 2SQRT (n-k), où n est la taille de l'échantillon et k le retard. Ici n est 38 et k varie de 1 à 5, donc la racine carrée de - n-moins-k est d'environ 6 pour tous, et donc les limites pour tester la signification statistique des écarts à partir de zéro sont plus ou moins plus - Ou-moins 26 ou 0,33. Si vous modifiez la valeur de l'alpha à la main dans ce modèle Excel, vous pouvez observer l'effet sur la série temporelle et les diagrammes d'autocorrélation des erreurs, ainsi que sur l'erreur quadratique moyenne qui sera illustrée ci-dessous. Au bas de la feuille de calcul, la formule de prévision est quotbootstrappée à l'avenir en substituant simplement les prévisions aux valeurs réelles au point où les données réelles s'épuisent, c'est-à-dire. Où l'avenir commence. (En d'autres termes, dans chaque cellule où une future valeur de données se produirait, une référence de cellule est insérée qui pointe vers la prévision faite pour cette période.) Toutes les autres formules sont simplement copiées vers le bas depuis le dessus: Notez que les erreurs pour les prévisions de L'avenir sont tous calculés à zéro. Cela ne signifie pas que les erreurs réelles seront nulles, mais plutôt que cela reflète simplement le fait qu'à des fins de prédiction, nous supposons que les données futures seront égales aux prévisions en moyenne. Les prévisions des ERP résultant pour les données désaisonnalisées ressemblent à ceci: Avec cette valeur particulière de alpha, qui est optimale pour les prévisions à une période d'avance, la tendance projetée est légèrement à la hausse, reflétant la tendance locale qui a été observée au cours des 2 dernières années Ou plus. Pour d'autres valeurs d'alpha, une projection de tendance très différente pourrait être obtenue. C'est généralement une bonne idée de voir ce qui arrive à la projection de tendance à long terme lorsque alpha est varié, parce que la valeur qui est la meilleure pour la prévision à court terme ne sera pas nécessairement la meilleure valeur pour prédire l'avenir plus lointain. Par exemple, voici le résultat obtenu si la valeur de alpha est réglée manuellement à 0.25: La tendance à long terme projetée est maintenant négative plutôt que positive Avec une plus petite valeur d'alpha, le modèle place plus de poids sur les données plus anciennes Son estimation du niveau et de la tendance actuels et ses prévisions à long terme reflètent la tendance à la baisse observée au cours des cinq dernières années plutôt que la tendance à la hausse plus récente. Ce diagramme illustre également clairement comment le modèle avec une plus petite valeur d'alpha est plus lent à répondre aux points de quotturning dans les données et tend donc à faire une erreur du même signe pendant de nombreuses périodes d'affilée. Ses erreurs de prévision à 1 pas sont plus élevées en moyenne que celles obtenues avant (RMSE de 34,4 plutôt que 27,4) et fortement positivement autocorrélées. L'autocorrélation lag-1 de 0,56 dépasse de beaucoup la valeur de 0,33 calculée ci-dessus pour un écart statistiquement significatif par rapport à zéro. Comme alternative à la réduction de la valeur de l'alpha afin d'introduire plus de conservatisme dans les prévisions à long terme, un facteur quottrend d'amortissement est parfois ajouté au modèle afin de rendre la tendance projetée aplatir après quelques périodes. La dernière étape de la construction du modèle de prévision consiste à quantifier les prévisions ERP en les multipliant par les indices saisonniers appropriés. Ainsi, les prévisions saisonnières de la colonne I ne sont que le produit des indices saisonniers de la colonne F et des prévisions des prévisions saisonnières corrigées des variations saisonnières dans la colonne H. Il est relativement facile de calculer les intervalles de confiance pour les prévisions à une étape de ce modèle: Calculer le RMSE (erreur quadratique moyenne équivaut à la racine carrée du MSE), puis calculer un intervalle de confiance pour la prévision désaisonnalisée en ajoutant et en soustrayant deux fois le RMSE. (En général, un intervalle de confiance de 95 pour une prévision à une période d'avance est approximativement égal à la prévision de point plus ou moins deux fois l'écart type estimé des erreurs de prévision, en supposant que la distribution des erreurs est approximativement normale et que la taille de l'échantillon Est assez grand, disons, 20 ou plus. Ceci, le RMSE plutôt que l'écart type de l'échantillon des erreurs est la meilleure estimation de l'écart-type des erreurs de prévisions futures car il prend le biais ainsi que les variations aléatoires en compte.) Les limites de confiance Pour les prévisions corrigées des variations saisonnières sont ensuite recalées. Ainsi que les prévisions, en les multipliant par les indices saisonniers appropriés. Dans ce cas, le RMSE est égal à 27,4 et la prévision désaisonnalisée pour la première période future (décembre 93) est de 273,2. De sorte que l'intervalle de confiance corrigé des variations saisonnières est de 273,2-227,4 218,4 à 273,227,4 328,0. Multipliant ces limites par Decembers indice saisonnier de 68,61. Nous obtenons des limites de confiance inférieures et supérieures de 149,8 et 225,0 autour de la prévision ponctuelle de 187,4 déc-93. Les limites de confiance pour les prévisions plus d'une période à venir s'élargiront généralement à mesure que l'horizon de prévision augmente, en raison de l'incertitude concernant le niveau et la tendance ainsi que les facteurs saisonniers, mais il est difficile de les calculer en général par des méthodes analytiques. (La méthode appropriée pour calculer les limites de confiance pour la prévision des ERI est en utilisant la théorie ARIMA, mais l'incertitude dans les indices saisonniers est une autre question.) Si vous voulez un intervalle de confiance réaliste pour une prévision plus d'une période à venir, en prenant toutes les sources de , Il vaut mieux utiliser des méthodes empiriques: par exemple, pour obtenir un intervalle de confiance pour une prévision à deux étapes, vous pouvez créer une autre colonne sur le tableur pour calculer une prévision à 2 étapes pour chaque période ( En amorçant la prévision en une étape). Ensuite, calculez le RMSE des erreurs de prévision à 2 pas et utilisez ceci comme base pour un intervalle de confiance en deux étapes.5.2 Lissage de la série temporelle Le lissage est habituellement fait pour nous aider à mieux voir les tendances, par exemple, dans le temps séries. Généralement lisser la rugosité irrégulière pour voir un signal plus clair. Pour les données saisonnières, nous pourrions lisser la saisonnalité afin que nous puissions identifier la tendance. Smoothing doesnt nous fournir un modèle, mais il peut être une bonne première étape dans la description de divers composants de la série. Le terme filtre est parfois utilisé pour décrire une procédure de lissage. Par exemple, si la valeur lissée pour un temps donné est calculée comme une combinaison linéaire d'observations pour les temps environnants, on pourrait dire que nous avons appliqué un filtre linéaire aux données (ce qui n'est pas le même que dire que le résultat est une droite, le chemin). L'utilisation traditionnelle du terme moyenne mobile est que, à chaque point dans le temps, nous déterminons des moyennes (éventuellement pondérées) des valeurs observées qui entourent un temps particulier. Par exemple, au temps t. Une moyenne mobile centrée de la longueur 3 avec des poids égaux serait la moyenne des valeurs aux instants t -1. T. Et t1. Pour enlever la saisonnalité d'une série, nous pouvons donc mieux voir la tendance, nous utiliserions une moyenne mobile avec une longueur saisonnière span. Ainsi, dans la série lissée, chaque valeur lissée a été moyennée à toutes les saisons. Cela peut être fait en regardant une moyenne mobile unilatérale dans laquelle vous la moyenne de toutes les valeurs pour les années précédentes valeur de données ou une moyenne mobile centrée dans laquelle vous utilisez des valeurs avant et après l'heure actuelle. Pour les données trimestrielles, par exemple, nous pourrions définir une valeur lissée pour le temps t comme (x t x t-1 x t-2 x t-3) 4, la moyenne de ce temps et des 3 trimestres précédents. Dans le code R, ce sera un filtre unilatéral. Une moyenne mobile centrée crée un peu d'une difficulté quand nous avons un nombre pair de périodes de temps dans la période saisonnière (comme nous le faisons habituellement). Pour lisser la saisonnalité dans les données trimestrielles. Afin d'identifier la tendance, la convention habituelle est d'utiliser la moyenne mobile lissée au temps t pour lisser la saisonnalité dans les données mensuelles. Pour déterminer la tendance, la convention usuelle consiste à utiliser la moyenne mobile lissée au temps t. C'est-à-dire que l'on applique le poids 124 aux valeurs t6 et t6 et le poids 112 à toutes les valeurs entre t5 et t5. Dans la commande Filtre R, spécifiez bien un filtre recto-verso lorsque nous voulons utiliser des valeurs qui viennent à la fois avant et après le lissage. À la page 71 de notre livre, les auteurs appliquent des poids égaux sur une moyenne mobile saisonnière centrée. Ça va aussi. Par exemple, un lissé trimestriel pourrait être lissé au temps t est fracture x frac x frac x frac x frac x Un mensuel lisse pourrait appliquer un poids de 113 à toutes les valeurs des temps t-6 à t6. Le code que les auteurs utilisent à la page 72 tire parti d'une commande rep qui répète une valeur un certain nombre de fois. Ils n'utilisent pas le paramètre filter dans la commande filter. Exemple 1 Production trimestrielle de bière en Australie Dans la leçon 1 et la leçon 4, nous avons examiné une série de production trimestrielle de bière en Australie. Le code R suivant crée une série lissée qui nous permet de voir le modèle de tendance et trace ce modèle de tendance sur le même graphique que la série chronologique. La seconde commande crée et stocke la série lissée dans l'objet appelé trendpattern. Notez que dans la commande filter, le paramètre nommé filter donne les coefficients pour notre lissage et les faces 2 font calculer un lissage centré. (Beerprod. dat) filtre de tendance (beerprod, filtre c (18, 14, 14, 14, 18), sides2) tracé (beerprod, type b, principale tendance moyenne mobile) lignes (trendpattern) Voici le résultat: Nous Pourrait soustraire le modèle de tendance des valeurs de données pour obtenir un meilleur regard sur la saisonnalité. Le résultat suit: Une autre possibilité pour lisser la série pour voir la tendance est le filtre unilatéral patternpattern2 filter (beerprod, filter c (14, 14, 14, 14), les côtés1). Avec ceci, la valeur lissée est la moyenne de l'année écoulée. Exemple 2. Chômage mensuel aux États-Unis Dans le devoir de la semaine 4, vous avez examiné une série mensuelle de chômage des États-Unis pour 1948-1978. Voici un lissage fait pour regarder la tendance. Trendunemployfilter (trendunemploy, trend2), trend2 () (trendunemploy, mainTrend in U. S. Unemployment, 1948-1978, xlab Year) Seule la tendance lissée est tracée. La seconde commande identifie les caractéristiques de temps de calendrier de la série. Cela fait que l'intrigue a un axe plus significatif. L'intrigue suit. Pour les séries non saisonnières, vous n'êtes pas obligé de lisser sur toute portée particulière. Pour lisser, vous devez expérimenter avec des moyennes mobiles de différentes portées. Ces durées de temps pourraient être relativement courtes. L'objectif est d'éliminer les bords rugueux pour voir quelle tendance ou modèle pourrait être là. Autres méthodes de lissage (section 2.4) La section 2.4 décrit plusieurs alternatives sophistiquées et utiles au lissage moyen mobile. Les détails peuvent sembler sommaires, mais thats ok parce que nous ne voulons pas s'embourber dans beaucoup de détails pour ces méthodes. Parmi les méthodes alternatives décrites à la section 2.4, la faible (régression pondérée localement) peut être la plus utilisée. Exemple 2 Suite La courbe suivante est une courbe de tendance lissée pour la série de chômage des États-Unis, trouvée à l'aide d'une lisse plus faible dans laquelle une quantité substantielle (23) a contribué à chaque estimation lissée. Notez que cela a lissé la série plus agressivement que la moyenne mobile. Les commandes utilisées étaient le chômage, le début (1948,1), le freq12), le lissage principal de Lowess de la tendance au chômage des États-Unis. Lissage exponentiel simple L'équation de prévision de base pour le lissage exponentiel simple est souvent Nous allons prévoir que la valeur de x à l'instant t1 soit une combinaison pondérée de la valeur observée à l'instant t et de la valeur pronostiquée à l'instant t. Bien que la méthode soit appelée méthode de lissage, elle est principalement utilisée pour la prévision à court terme. La valeur de est appelée constante de lissage. Pour une raison quelconque, 0.2 est un choix populaire par défaut des programmes. Cela donne un poids de 0,2 sur l'observation la plus récente et un poids de 0,2 0,8 sur les prévisions les plus récentes. Avec une valeur relativement faible de, le lissage sera relativement plus étendu. Avec une valeur relativement importante de, le lissage est relativement moins étendu, car un poids plus important sera mis sur la valeur observée. Il s'agit d'une simple méthode de prévision à une étape qui, à première vue, ne semble pas requérir de modèle pour les données. En fait, cette méthode est équivalente à l'utilisation d'un modèle ARIMA (0,1,1) sans constante. La procédure optimale consiste à adapter un modèle ARIMA (0,1,1) au jeu de données observé et à utiliser les résultats pour déterminer la valeur de. C'est optimal dans le sens de créer le meilleur pour les données déjà observées. Bien que l'objectif soit un lissage et une prévision à l'avance, l'équivalence avec le modèle ARIMA (0,1,1) soulève un bon point. Nous ne devrions pas appliquer aveuglément un lissage exponentiel car le processus sous-jacent pourrait ne pas être bien modélisé par un ARIMA (0,1,1). Considérons un ARIMA (0,1,1) avec la moyenne 0 pour les premières différences, xt - x t-1: begin chapeau amp amp xt theta1 wt amp amp xt theta1 (xt - hat t) amp amp (1 theta1) xt - theta1hat tendance. Si on laisse (1 1) et donc - (1) 1, on voit l'équivalence à l'équation (1) ci-dessus. Pourquoi la méthode est appelée Lissage exponentiel Cela donne ce qui suit: commencer chapeau ampli ampli alpha xt (1 alpha) alpha x (1 alpha) chapeau ampli ampli alpha xt alpha (1 alpha) x (1 alpha) 2hat fin Continuer De cette manière en substituant successivement la valeur prévue sur le côté droit de l'équation. Ceci conduit à: hat alpha xt alpha (1 alpha) x alpha (1 alpha) 2 x points alpha (1-alpha) jx points alpha (1-alpha) x1 texte L'équation 2 montre que la valeur prévue est une moyenne pondérée De toutes les valeurs passées de la série, avec des poids exponentiellement changeants comme nous revenons dans la série. Optimal Exponential Smoothing in R Fondamentalement, il suffit d'adapter un ARIMA (0,1,1) aux données et de déterminer le coefficient. Nous pouvons examiner l'ajustement du lisse en comparant les valeurs prédites à la série réelle. Lissage exponentiel a tendance à être utilisé plus comme un outil de prévision que d'un vrai plus lisse, donc cherchait à voir si nous avons un bon ajustement. EXEMPLE 3. N 100 observations mensuelles du logarithme d'un indice des prix du pétrole aux États-Unis. La série de données est: Un ajustement ARIMA (0,1,1) dans R donne un coefficient MA (1) 0,3877. Ainsi, (1 1) 1,3877 et 1- -0,3877. L'équation exponentielle de prévision de lissage est chapeau 1.3877xt - 0.3877hat t Au temps 100, la valeur observée de la série est x 100 0.86601. La valeur prédite pour la série à ce moment est donc la prévision pour le temps 101 est le chapeau 1.3877x - 0.3877hat 1.3877 (0.86601) -0.3877 (0.856789) 0.8696 Voici comment bien le plus lisse s'adapte à la série. C'est un bon ajustement. C'est un bon signe pour la prévision, le but principal de cette plus lisse. Voici les commandes utilisées pour générer la sortie de cet exemple: oilindex scan (oildata. dat) tracé (oilindex, type b, registre principal des séries d'index d'huile) expsmoothfit arima (oilindex, ordre c (0,1,1)) expsmoothfit Pour afficher les résultats de l'arima prédictions oilindex - expsmoothfitresiduals valeurs prédites plot (oilindex, typeb, principal Lissage exponentiel de Log of Oil Index) lignes (prédites) 1.3877oilindex100-0.3877predicteds100 prévision de temps 101 Double lissage exponentiel Le lissage exponentiel double pourrait être utilisé quand theres (À long terme ou à court terme), mais pas de saisonnalité. Essentiellement, la méthode crée une prévision en combinant des estimations exponentiellement lissées de la tendance (pente d'une droite) et le niveau (essentiellement l'interception d'une droite). Deux poids différents, ou paramètres de lissage, sont utilisés pour mettre à jour ces deux composants à chaque fois. Le niveau lissé est plus ou moins équivalent à un lissage exponentiel simple des valeurs de données et la tendance lissée est plus ou moins équivalente à un simple lissage exponentiel des premières différences. La procédure est équivalente à l'installation d'un modèle ARIMA (0,2,2), sans constante, il peut être réalisé avec un ajustement ARIMA (0,2,2). (1-B) 2 xt (1theta1B théta2B2) p. La navigation